Abudirham (or Abudraham) on Cleanliness

In the Shulchan Arukh, there is a description of a Bris ceremony that includes the recitation of the blessing that follows the circumcision (the Mohel's blessing is right before the incision, and the father's blessing is at the moment of the incision), and the Rama adds an insight from Abudirham.

שולחן ערוך יורה דעה הלכות מילה סימן רסה

ואומר: בא"י אלהינו מלך העולם אשר קדש <ה> ידיד (ד) מבטן וכו'. ו ט] ונוהגין שכשמגיע י] לבדמיך חיי, נותן מהיין באצבעו <ו> בפי התינוק. (וכשהמוהל מברך ברכה זו, רוחץ תחלה ידיו ופיו, כדי שיברך בנקיות) (אבודרהם). 

When the Mohel recites that blessing, he should first wash his hands and mouth in order to recite a blessing in cleanliness.

This assumes that the mohel practices in a manner that does not utilize this hygiene enhancing medical supply item and this hygiene enhancing device.

Those of us who use them never have a concern as our hands and mouths are clean.